Логический элемент троичной операции неэквивалентности (строгая дизъюнкция, "XOR", "исключающее ИЛИ")
Эквивалентность — логическая операция, которая двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях.
Следовательно, неэквивалентность — логическая операция, которая двум высказываниям ставит в соответствие новое высказывание, считающееся истинным, если лишь одно из высказываний истинно, и ложным во всех остальных случаях. То есть в том случае если оба высказывания одновременно истинны, либо одновременно ложны, результат логической операции неэквивалентности будет ложным.
Собственно, логическую операцию неэквивалентности можно рассматривать как отрицание результата операции эквивалентности.
Операция неэквивалентности имеет и другие названия.
В математической логике она известна как операция «исключающее или» (строгая дизъюнкция), а в двоичной алгебре – как операция «сложение по модулю два» F(х1, х2) = х1 ⊕ х2.
Смысл логической операции неэквивалентности, максимально приближён к высказыванию «или то, или это, но не оба сразу», «что-нибудь, но не все». Собственно, этому высказыванию и соответствует название строгая дизъюнкция — дизъюнкция, при которой результат для ситуации «оба сразу» ложный. Для обозначения операции используют английскую аббревиатуру «XOR» английского словосочетания «eXclusive OR»: «один и только один». Интересно, что в системе команд одного из популярных в недавнем прошлом микропроцессоров MOS 6502 эта аббревиатура выглядела как «EOR»
Графически результат этой операции выглядит как объединение множеств за исключением области их пересечения.
Логическая операция строгой дизъюнкции не является базисной в двоичной логике, и, следовательно, может быть реализована на основе элементов базисных логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ».
Собственно, реализация этой операции схемотехнически довольно проста, если принять во внимание следующие несложные рассуждения.
Рассмотрим в сравнении таблицы истинности логических операций «ИЛИ» и «исключающее ИЛИ», приведенные ниже.
Очевидно, что операцию строгой дизъюнкции от операции дизъюнкции отличает лишь одна строчка таблицы, содержащая совпадение лог. «1», и аппаратно логический элемент строгой дизъюнкции может быть выполнен как логический элемент «ИЛИ», в котором заблокирован результат операции совпадение лог. «1».
Согласно правилам де Моргана, логический элемент «ИЛИ», может быть выполнен следующим образом.
Инверсия на входах и по выходу логического элемента «И», преобразует его в логический элемент «ИЛИ». Инверсия на входах выполнена на логических вентилях «И–НЕ», что позволит блокировать совпадение лог. «1», и устройством, способным отреагировать на совпадение лог. «1», как раз и является сам логический элемент «И–НЕ». В итоге операцию строгой дизъюнкции реализует следующая схема.
Два логических вентиля «И–НЕ», включенные на входах выходного элемента «И–НЕ» прозрачны по уровням лог. «1», на одном из входов. Дополнительный логический элемент «И–НЕ», контролирующий логические состояния обоих входов, избирательно реагирует на совпадение лог. «1», и запрещает их прохождение через оба логических вентиля «И–НЕ».
С учетом правил де Моргана, в двоичной логике базис могут образовывать один из двухвходовых элементов («И», «ИЛИ») в сочетании с логическим инвертором «НЕ».
В транзисторно–транзисторной логике (ТТЛ) логический элемент «И–НЕ», имеет более простую конструкцию (два входных защитных диода на схеме не показаны).
Поэтому элемент «И–НЕ» ТТЛ считается универсальным логическим элементом, поскольку содержит как двухвходовое логическое «И», так и отрицание «НЕ» по выходу.
В КМОП логике двухвходовые элементы «И–НЕ», «ИЛИ–НЕ» по сложности исполнения различий не имеют (защитные диода на схемах также не показаны).
 |
 |
КМОП «И–НЕ» |
КМОП «ИЛИ–НЕ» |
Логическая операция строгой дизъюнкции «XOR» в сочетании с константой лог. «1» в двоичной логике может образовывать так называемый базис Жегалкина, но ни в ТТЛ, ни КМОП–логике операция «XOR» не имеет достаточно простой схемотехнической реализации.
Так в КМОП–логике операция «XOR» реализована следующей схемой.
С учетом приведенных выше рассуждений, и принимая во внимание тот факт, что в наличии есть удачная и вполне работоспособная модель троичного логического элемента «INV–MIN» (аналог «И–НЕ» в троичной логике), троичный логический элемент «XOR» был выполнен по следующей схеме.
Троичному логическому элементу «XOR», выполненному по приведенной выше схеме, соответствует следующая таблица истинности.
Анализ таблицы показывает, что троичный логический элемент «XOR» ведёт себя практически так же, как и его двоичный аналог, работая по принципу «что-нибудь, но не все» с входными данными лог. «1» и лог. «–1». Логические «0» на входах элемент «XOR» фактически игнорирует, и по этой причине, как и его двоичный аналог, является управляемым инвертором, поскольку в троичной логике инверсия лог. «0» есть сам лог. «0».
Модель троичного логического элемента «исключающее ИЛИ», была оформлена в виде отдельного функционального модуля, который может быть использован в дальнейшем для построения более сложных устройств троичной логики. Работа элемента в качестве управляемого инвертора была протестирована при подаче на вход импульсного сигнала.
Представленный на рисунке выше модуль фактически является троичным аналогом двоичного логического элемента, изображенного на рисунке ниже.
Необходимо подчеркнуть, что в троичной логике на логический элемент «XOR» не возложено столь большой нагрузки, как на его двоичный прототип. Напомним, что кроме прочего, логический элемент «XOR» в двоичной алгебре выполняет операцию «сложение по модулю два» и является основой для построения полного двоичного сумматора.
Действительно, в популярной литературе по цифровой технике схему полного двоичного одноразрядного сумматора представляют обычно в следующем виде.
Каждый логический элемент «XOR» в этой схеме выполняет операцию «сложение по модулю два», то есть фактически суммирует два входных бита, но интегральный элемент «XOR» не способен формировать бит переноса, возникающий при сложении двух единиц в двоичной системе.
Поэтому параллельно каждому элементу «XOR» подключен элемент «И», отслеживающий ситуацию переноса и формирующий свой бит переноса C1i (или C2i). Вместе два эти элемента образуют одноразрядный полусумматор, один из полусумматоров выполняет сложение входных аргументов, а второй — суммирует полученный результат с битом переноса из младшего разряда. В состав полного сумматора входит также элемент «ИЛИ», передающий на выход переноса в старший разряд Pi бит переноса C1i или C2i или оба вместе.
В троичной логике на логический элемент «XOR» не возложено таких обязательств, поскольку в троичной логике в схемотехнике полного одноразрядного полусумматора используется троичный сумматор по модулю три, представляющий собой совсем другую схему.
Завершая раздел, посвященный логической операции строгой дизъюнкции «XOR», отметим, что схема элемента «XOR», построенная из логических элементов «И–НЕ», уже имеет свой формирователь бита переноса благодаря особенностям его собственной схемотехники.
И хотя бит переноса формируется как лог. «0», а не лог. «1», это не является помехой для реализации полного двоичного сумматора на базе логических элементов «И–НЕ».
В заключение необходимо также отметить, что в троичной логике рассмотренные ранее элементы «INV–MIN», «INV–MAX» и троичный инвертор не образуют функционально полный логический базис, на основе которого можно реализовать любое, сколь угодно сложное троичное комбинационное устройство. В троичной логике существует ряд элементов, аналогов которых в двоичной логике нет, и такими устройствами, в частности, являются детекторы троичных логических уровней, устройство которых будет рассмотрено далее.
Все упомянутые в тексте модели устройств
можно скачать здесь:
http://sgu-wap.narod.ru/Ternary/Download
